線形代数例

$[\begin{array}{c} 6 & 2 & 8 \\ - 3 & 4 & 1 \\ 4 & - 4 & 5 \end{array}]$

ステップ 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

ステップ 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 1 \\ - 4 & 5 \end{array} |$

ステップ 2.1.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{11} = 4 \cdot 5 - (- 4 \cdot 1)$

ステップ 2.1.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1.1

$4$ に $5$ をかけます。

$a_{11} = 20 - (- 4 \cdot 1)$

ステップ 2.1.2.2.1.2

$- (- 4 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$a_{11} = 20 - - 4$

ステップ 2.1.2.2.1.2.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$a_{11} = 20 + 4$

ステップ 2.1.2.2.2

$20$ と $4$ をたし算します。

$a_{11} = 24$

ステップ 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 4 & 5 \end{array} |$

ステップ 2.2.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{12} = - 3 \cdot 5 - 4 \cdot 1$

ステップ 2.2.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.1

$- 3$ に $5$ をかけます。

$a_{12} = - 15 - 4 \cdot 1$

ステップ 2.2.2.2.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$a_{12} = - 15 - 4$

ステップ 2.2.2.2.2

$- 15$ から $4$ を引きます。

$a_{12} = - 19$

ステップ 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ 4 & - 4 \end{array} |$

ステップ 2.3.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{13} = - 3 \cdot - 4 - 4 \cdot 4$

ステップ 2.3.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1.1

$- 3$ に $- 4$ をかけます。

$a_{13} = 12 - 4 \cdot 4$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$a_{13} = 12 - 16$

ステップ 2.3.2.2.2

$12$ から $16$ を引きます。

$a_{13} = - 4$

ステップ 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 8 \\ - 4 & 5 \end{array} |$

ステップ 2.4.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{21} = 2 \cdot 5 - (- 4 \cdot 8)$

ステップ 2.4.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.1

$2$ に $5$ をかけます。

$a_{21} = 10 - (- 4 \cdot 8)$

ステップ 2.4.2.2.1.2

$- (- 4 \cdot 8)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.2.1

$- 4$ に $8$ をかけます。

$a_{21} = 10 - - 32$

ステップ 2.4.2.2.1.2.2

$- 1$ に $- 32$ をかけます。

$a_{21} = 10 + 32$

ステップ 2.4.2.2.2

$10$ と $32$ をたし算します。

$a_{21} = 42$

ステップ 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 8 \\ 4 & 5 \end{array} |$

ステップ 2.5.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{22} = 6 \cdot 5 - 4 \cdot 8$

ステップ 2.5.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1.1

$6$ に $5$ をかけます。

$a_{22} = 30 - 4 \cdot 8$

ステップ 2.5.2.2.1.2

$- 4$ に $8$ をかけます。

$a_{22} = 30 - 32$

ステップ 2.5.2.2.2

$30$ から $32$ を引きます。

$a_{22} = - 2$

ステップ 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 2 \\ 4 & - 4 \end{array} |$

ステップ 2.6.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{23} = 6 \cdot - 4 - 4 \cdot 2$

ステップ 2.6.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1.1

$6$ に $- 4$ をかけます。

$a_{23} = - 24 - 4 \cdot 2$

ステップ 2.6.2.2.1.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$a_{23} = - 24 - 8$

ステップ 2.6.2.2.2

$- 24$ から $8$ を引きます。

$a_{23} = - 32$

ステップ 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 8 \\ 4 & 1 \end{array} |$

ステップ 2.7.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{31} = 2 \cdot 1 - 4 \cdot 8$

ステップ 2.7.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$a_{31} = 2 - 4 \cdot 8$

ステップ 2.7.2.2.1.2

$- 4$ に $8$ をかけます。

$a_{31} = 2 - 32$

ステップ 2.7.2.2.2

$2$ から $32$ を引きます。

$a_{31} = - 30$

ステップ 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 8 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

ステップ 2.8.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{32} = 6 \cdot 1 - (- 3 \cdot 8)$

ステップ 2.8.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1.1

$6$ に $1$ をかけます。

$a_{32} = 6 - (- 3 \cdot 8)$

ステップ 2.8.2.2.1.2

$- (- 3 \cdot 8)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1.2.1

$- 3$ に $8$ をかけます。

$a_{32} = 6 - - 24$

ステップ 2.8.2.2.1.2.2

$- 1$ に $- 24$ をかけます。

$a_{32} = 6 + 24$

ステップ 2.8.2.2.2

$6$ と $24$ をたし算します。

$a_{32} = 30$

ステップ 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 2 \\ - 3 & 4 \end{array} |$

ステップ 2.9.2

Evaluate the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{33} = 6 \cdot 4 - (- 3 \cdot 2)$

ステップ 2.9.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.2.1.1

$6$ に $4$ をかけます。

$a_{33} = 24 - (- 3 \cdot 2)$

ステップ 2.9.2.2.1.2

$- (- 3 \cdot 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.2.1.2.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$a_{33} = 24 - - 6$

ステップ 2.9.2.2.1.2.2

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$a_{33} = 24 + 6$

ステップ 2.9.2.2.2

$24$ と $6$ をたし算します。

$a_{33} = 30$

ステップ 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 24 & 19 & - 4 \\ - 42 & - 2 & 32 \\ - 30 & - 30 & 30 \end{array}]$

ステップ 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 24 & - 42 & - 30 \\ 19 & - 2 & - 30 \\ - 4 & 32 & 30 \end{array}]$

線形代数 例

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